$\newcommand{\tdot}{\!\cdot\!}
\newcommand{\jv}{\,\mathrm{m \tdot s^{-1}}}
\newcommand{\jp}{\,\mathrm{kg \tdot m \tdot s^{-1}}}
\newcommand{\kmh}{\,\mathrm{km \tdot h^{-1}}}
\newcommand{\ja}{\,\mathrm{m \tdot s^{-2}}}
\newcommand{\jN}{\,\mathrm{N}}
\newcommand{\jkg}{\,\mathrm{kg}}
\newcommand{\js}{\,\mathrm{s}}
\newcommand{\jm}{\,\mathrm{m}}
\newcommand{\–}{\mathbin{-}}$
Pokud najdete chyby, prosím napište.
Rozbor sil
Nakreslete obrázky, kde znázorníte všechny síly působící na těleso v následujících případech:
a) Volejbalový míč padá k zemi.
b) Na stole stojí krabice mléka.
c) Na stole stojí krabice mléka a na ní je položen jogurt.
d) Na provázku visí koule a na kouli je zavěšena ještě jedna koule.
e) Zabržděné auto stojí na silnici ve svahu.
f) Auto brzdí před přechodem.
g) Lyžař klouže ze svahu prakticky bez tření a zrychluje.
h) Lyžař klouže po svahu s třením a jede rovnoměrně.
$F_p$ značí sílu od podložky, $F_t$ třecí sílu, $F_l$ sílu od lana. Síly jsou pro přehlednost často posunuty po své vektorové přímce, tedy často nemají počátek ve svém pravém působišti.
Míša se točí na řetízkovém kolotoči jako na obrázku. Zakreslete všechny síly, které působí na sedačku.
Působí síla gravitační dolů a síla od lana ve směru lana. Zřejmě výsledná síla je nenulová a míří v obrázku do prava, směrem k ose otáčení. Výsledná síla musí být nenulová, protože Míša mění směr pohybu, tedy její rychlost se mění (i když se nemění velikost rychlosti). Nenulová výslednice tak hraje roli dostředivé síly, která zakřivuje trajektorii pohybu do kružnice.
Druhý Newtonův zákon
Vyjádři jednotku síly Newton v základních jednotkách SI.
Nápověda: Zopakuj si, které jsou základní jednotky SI. Pak najdi nějaký vhodný vztah, kde na levé straně je síla a do pravé strany za veličiny dosaď jejich jednotky.
Vezmeme si vztah $F = ma$ a namísto veličin dosadíme jednotky. Pak máme $\jN = \jkg \cdot \ja$, což je právě vyjádření pomocí základních jednotek SI.
Je pravda, že pokud budete mít dvě stejně velké koule, avšak různé hmotnosti (budou třeba z různých materiálů), tak budou padat stejně rychle? Argumentujte. Jak by to bylo na Měsící? Bylo by to jinak?
V atmosféře Země je odpor vzduchu. Stejně velké koule budou mít při stejné rychlosti stejně velký odpor vzduchu. Tíhová síla je však rozdílná vzhledem k odlišným hmotnostem. Zrychlení koule je
$a = (mg \– F_o)/m = g \– F_o/m$.
Těžší koule tak bude padat s větším zrychlením. Na Měsíci není atmosféra ani odpor vzduchu a platí $a = mg’/m = g’$.
Parašutistovi o celkové hmotnosti 90 kg se otevře padák a odporová síla vzduchu vzroste na 1,1 kN. Jaká bude velikost a směr zrychlení parašutisty? Jaký bude směr jeho rychlosti? Nakreslete. Pokud těsně před otevřením letěl rychlostí 50 m/s, jakou rychlostí poletí za dvě sekundy? Uvažujte g = 10 m/s2.
Výsledná síla má velikost 1100 N – 900 N = 200 N a míří směrem nahoru, protože padák zpomaluje pád. Zrychlení tak bude $a = F_v/m = 200 / 90 = 2,22\ja$ směrem nahoru, tedy jedná se o zpomalení. Rychlost po dvou sekundách bude $v = v_0 \– at = 50 \– 2,22\cdot 2 \approx 45,6\jv$. Zanedbáváme zde však fakt, že když pád zpomalí, odpor vzduchu tím zároveň klesne.
Zrychlení bude 2,22 m/s2. Po dvou sekundách by rychlost měla být 45,6 m/s.
Markovi došel benzín. Jal se proto roztlačovat auto silou 300 N. Auto má docela dobře promazané a pneumatiky nafouknuté, takže třecí a odporová síla mají dohromady velikost 100 N. Auto má hmotnost 1,4 tuny. Jak dlouho bude trvat, než auto roztlačí na rychlost 12 km/h (na rovině), tedy rychlost klusu? [inspirace realisticky]
Výsledná síla ve směru pohybu je 200 N. Zrychlení
$a = F_v/m = 200\,\text{N} / 1400\,\text{kg} = \frac{1}{7} \ja$.
Požadovaná změna rychlosti je $\Delta v = 12/3,6 = \frac{10}{3}\jv$. Potřebný čas je potom
$t = \Delta v/a = \frac{10}{3} \jv / \frac{1}{7} \ja = 70/3\js$, čili 23,3 s.
Bude to trvat asi 23 sekund.
Hornice Adriana roztlačovala důlní vozík na vodorovných kolejích. Nejdříve působila silou 50 N, čímž byla schopna udržovat vozík v rovnoměrném pohybu neměnnou rychlostí 5 km/h. Pak ale přitlačila a působila silou 200 N. Během půl minuty vozík roztlačila na závratnou rychlost běhu 15 km/h. Jaká byla hmotnost vozíku? [inspirace realisticky]
K udržení vozíku v rovnoměrném pohybu je potřeba síla 50 N, což nám říká, že třecí a valivá odporová síla mají dohromady velikost. Výsledná síla na vozík tak bude $F_v = 150\jN$ ve směru pohybu. Má dojít ke zrychlení o $\Delta v = 10\kmh = (10:3,6)\jv$. Odtud zrychlení $a = \Delta v / t = (2,78\jv) / (30\js) = 0,0926\ja$. Platí $F = ma$, tedy
$m = F_v/a = \frac{Ft}{\Delta v} = \frac{150 \,\cdot\, 30}{10 \,:\, 3.6} = 1620\jkg$.
Jak velkou silou je potřeba působit, abychom kýbl s vodou o hmotnosti 5 kg táhli nahoru se zrychlením 2 m/s2?
Neznámou tažnou sílu označme $F$. Výsledná síla má velikost $F_v = F – mg$. Pro výslednou sílu platí $F_v = ma = 10\jN$. Hledaná tažná síla je $F = F_v + mg = 10\jN + 50\jN = 60\jN$.
Na obrázku jsou znázorněny změny velikosti rychlosti při rozjíždění a zastavování výtahu, který jede směrem vzhůru. Určete velikost výsledné síly, která napíná lano, je-li hmotnost kabiny s cestujícími 1200 kg. Řešte po jednotlivých úsecích. Pro každý úsek také nakreslete obrázek se znázorněním působících sil.
Gravitační zrychlení má směr dolů. Zrychlení výtahu má na prvním úseku zrychlení nahoru a na posledním úseku zrychlení směrem dolů (zpomaluje v jízdě nahoru). Zavedeme konvenci, že veličiny mířící dolů mají zápornou hodnotu, tedy $g = -10\ja$.
Na výtah působí dvě síly: tíhová $mg$ směrem dolů a tažná od lana $F_l$ směrem nahoru. Jejich výslednice má velikost $F_v = F_l \– mg$. Pokud výslednice vyjde kladná, tak síla míří nahoru, pokud záporná, tak má směr dolů. Velikost výsledné síly lze rozepsat podle II. Newtonova zákona jako $F_v = ma$. Proto platí
$ma = F_l \– mg$
Vyjádříme hledanou sílu od lana
$F_l = mg + ma = m(g+a).
Úsek 1: Zrychlení je $a = +1,25\ja$. Potom $F_l = 1200 \cdot (10 + 1,25) = 13500\jN$.
Úsek 2: Zrychlení je $a = 0\ja$. Potom $F_l = mg = 12000\jN$.
Úsek 3: Zrychlení je $a = -0,625\ja$. Potom $F_l = 1200 \cdot (10 \– 0,625) = 11250\jN$.
Odpovídá to naší intuici, že výtah je při rozjezdu vzhůru “více zatížený”, což cítíme přitlačením k podlaze, zatímco při dobržďování vzhůru sítíme trochu nadlehčení. Podobně tak s napětím lana.
Určete velikost zrychlení soustav spojených vláknem znázorněných na obrázku. Tření neuvažujeme, kladky jsou oproti závažím velice lehké.
Nalevo: Celková síla působící na spojená závaží je 20 N -10 N = 10 N. Celková hmotnost je 3 kg. Zrychlení spojených závaží tak bude $a = F/m = \frac{10}{3}\ja = 3,33\ja$.
Napravo: Zde podobně. Celková síla působící na spojená závaží je 30 N -10 N = 20 N směrem napravo. Celková hmotnost je 6 kg. Zrychlení spojených závaží tak bude $a = F/m = \frac{20}{6}\ja = 3,33\ja$.
Tření
Velký praktický význam má třecí síla mezi pneumatikou a silnicí – musí být co největší, aby nedocházelo ke smyku nebo podkluzování kol. Díky tření se auto I může prudce rozjíždět – kdyby nebylo tření, tak by při prudkém rozjezdu kola začala hrabat. Když bude auto mít větší hmotnost, bude jistě větší i normálová tlaková síla, ale zase bude potřeba, aby zase budou potřeba větší síly ke změně rychlosti auta, takže si nepomůžeme. Je nějaký způsob, jak zvýšit normálovou tlakovou sílu od auta na silnici, aniž by se změnila hmotnost auta?
Většího přítlaku je možné dosáhnout aerodynamicky, třeba zadním “křídlem” které vidíme u závodních aut. Při obtékání vzduchu auto tlačí směrem dolů. V zatáčce je možné přítlak zvětšit klopením zatáčky.
Koeficient tření mezi pivní lahví a stolkem ve vlaku je 0,2. K jakým maximálním zrychlením může docházet ve vlaku, aniž by se lahev začala klouzat?
Aby lahev nesklouzla, musí zrychlovat spolu se stolkem a vlakem. Zrychlování lahve je zprostředkováno třecí silou mezi stolem a lahví o velikosti $F_t = fmg$. Pro maximální zrychlení lahve pak platí $a = F_t/m = fmg/m = fg$. Maximální zrychlení je pak rovno $2\ja$. Dlužno poznamenat, že zde mluvíme o statickém třecím koeficientu.
Při smyku je koeficient tření mezi pneumatikou v rozmezí zhruba 0,2-0,6 podle toho, zda je silnice mokrá či suchá a podobně. Jakou velikost má zpomalení auta, které se v rychlosti 90 km/h dostane do smyku? Jak daleko dojede, než zastaví?
Zpomalování je způsobeno třecí silou o velikosti $F_t = fmg$. Velikost zpomalení je $a = F_t/m = fmg/m = fg$. Brzdná dráha je $s = v^2_0/2a =v^2_0/(2fg)$. Pro f=0,6 máme 52 m, pro f = 0,2 to je trojnásobek, čili 156 m. Hodně, že?
Helmut roztlačil dvacetikilovou kartonovou krabici na rychlost 2 m/s a nechal ji klouzat po lině. Krabice ujela vzdálenost 120 cm. Jaký je koeficient smykového tření mezi krabicí a linem?
Zrychlení krabice je $a = fg$. Pro brzdnou dráhu platí $s = v^2_0/2a =\frac{v^2_0}{2fg}$. Odtud
$f = \frac{v^2_0}{2sg} \approx 0,17$.
Helmut si znovu vzal kartonovou krabici, ale tentokrát ji zapřáhnul za provázek a začal tahat po koberci, kde je koeficient smykového tření roven 0,4. Helmut ví, že když na provázek zavěšuje větší a větší závaží, tak ten se při zatížení 10 kg přetrhne. Jakou maximální hmotnost může mít krabice, aby ji ještě mohl na provázku rovnoměrně táhnout? [inspirace realisticky]
Maximální síla napnutí provázku je F = 100 N. Pro rovnoměrné tažení je potřeba síla $F = mgf$. Odtud $m = F/gf = 100\jN / (10\ja \cdot 0,4) = 25\jkg$.
Když nesete těžkou krabici (třeba 16 kg), můžete si ulevit tím, že ji na chvíli zatlačíte proti stěně. Jakou silou je potřeba tlačit proti stěně, aby krabice nesklouzla? Budiž f = 0,65. Nakreslete také všechny síly působící na krabici.
Přítlačnou sílu kolmo ke stěně označme $F_n$. Třecí síla musí vyrovnat tíhovou sílu, tedy má být $F_t = 160\jN = fF_n$, tedy $F_n = 160\jN / f = 246\jN$.
Když Pepíček pověsil hrníček na siloměr, tak ten ukázal 4 N. Když hrnek rovnoměrně táhnul po stole, tak siloměr ukázal 1,6 N. Potom do hrnku nalil trochu piva a zjistil, že je možné ho rovnoměrně táhnout silou 2,8 N. Kolik piva do hrnku nalil?
Po nalití piva se třecí síla zvětšila poměrem 2,8/1,6 = 1,75. Tíha hrnku tak musela také narůst 1,75x. To jest z původních 4 N na 7 N. Tíha přidaného piva jsou 3 N a jeho hmotnost 300 g, tedy zhruba 300 ml. Můžeme také řešit tak, že určime třecí koeficient: Poměr třecí a normálové síly $F_t/F_n = f = 1,6 / 4 = 0,4$.
Nakloněná rovina
Mějme rampu ve tvaru pravoúhlého trojúhelníka ležícího na delší odvěsně o délce 5 m. Výška trojúhelníka jsou 2 m. Na rampě je vozík, který se pohybuje bez tření.
a) Nakreslete přehledný obrázek a vyznačte všechny síly, které působí NA VOZÍK, včetně jejich poměrných velikostí.
b) Určete zrychlení vozíku.
c) Za jak dlouho vozík sjede celou délku rampy?
Označme b = 2 m. Přepona trojúhelníka má velikost $c = \sqrt{5^2-2^2} = \sqrt{19}$. Složka tíhové síly ve směru pohybu má velikost $F_1 = mg\sin\alpha = mg b/c = mg \cdot 2/\sqrt{19}$. Zrychlení vozíku je $a = F_1/m = g \cdot 2/\sqrt{19}$. Délka dráhy je rovna $c$ a platí pro ni $c = \frac{1}{2}at^2$.
Vyjádříme $t = \sqrt{2c/a} = \sqrt{\frac{2\sqrt19}{2g/\sqrt{19}}} = \sqrt{19/g} = 1,38\js$.
Lucka táhne sáňky se Zdeňkem po svahu o sklonu 30° směrem nahoru. Sáňky mají hmotnost 10 kg a Zdeněk váží 40 kg. Koeficient smykového tření mezi sněhem a sáňkami budiž 0,2.
a) Nakreslete přehledný nákres, vyznačte všechny síly působící NA SÁŇKY a vyznačte jejich výslednici (znázorněte i správně velikosti sil).
b) Určete, jakou silou Lucka musí táhnout, aby táhla sáňky rovnoměrně.
c) Jaké by bylo zrychlení sáněk, kdyby je pustila dolů svahem?
d) Jakou dráhu by v takovém případě sáňky urazili za 3 sekundy?
b) Lucka musí překonávat jednak třecí sílu $F_t$ a jednak složku gravitační síly ve směru pohybu $F_1$, její síla je proto
$F_L = F_t + F_1 = fmg\cos\alpha + mg\sin\alpha = mg(f\cos\alpha + \sin\alpha)$.
Dosadíme:
$F_L = 400\jN (0,2\cdot\sqrt3/2 + 0,5) = 400\jN (0,673) = 269\jN$.
c) Když sáňky pustí, tak třecí síla jde proti tíhové složce a výslednice je
$F = F_1 – F_t = mg(\sin\alpha \– f\cos\alpha)$ a zrychlení $a = g(\sin\alpha \– f\cos\alpha) = 10\ja (0,5 \– 0,2\cdot\sqrt3/2) = 3,27\ja$.
d) Dráha za 3 sekundy je $s = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} 3,27 3^2 = 14,7\jm$.
Představte si, že jste na sjezdových lyžích a rychlostí 10 m/s vjíždíte do protisvahu o sklonu 20°. Koeficient tření mezi lyžemi a sněhem budiž roven 0,1. Odpor vzduchu velkoryse zanedbáme.
a) Nakreslete rozbor sil, vyznačte výslednici sil působících na lyžaře
b) Určete, jakou vzdálenost na protisvahu urazíte, než zastavíte.
c) Určete množství tepla, které vzniklo v důsledku tření.
Zpomalení lyžaře je způsobeno součtem tíhové ve směru pohybu a třecí síly, čili zrychlení
$a = g(\sin\alpha + f\cos\alpha) = 4,36\ja$
Brzdná dráha je $s = v^2_0 / 2a$. Dosazení máme 11,5 m.
Třecí síla konala práci, která se přeměňovala na teplo: $W = F_t\cdot s = fmg\cos\alpha \cdot s$. Pro výpočet je tedy ještě potřeba znát hmotnost lyžaře. Množství tepla by šlo určit i z úvahy o energii: veškerá kinetická a potenciální energie lyžaře se přeměnila při zpomalování na teplo.
Adam má pro strach uděláno a nebojí se auto zaparkovat i na velmi prudkém svahu. Navíc se tím vždy všem okolo chlubí. Pokud koeficient statického tření mezi silnicí a pneumatikou je 0,6, jaký maximální sklon může mít svah, aniž by auto začalo klouzat dolů? Vyjádřete nejprve obecně a pak až pro konkrétní zadanou hodnotu.
Maximální velikost statické třecí síly na svahu bude $F_t = fmg\cos\alpha$. Velikost složky tíhové síly ve směru pohybu je $F_1 = mg\sin\alpha$. Těsně předtím, než by začlo auto klouzat, bude platit $F_t = F_1$, čili
$fmg\cos\alpha = mg\sin\alpha$
Vukrátíme mg a máme
$f\cos\alpha = \sin\alpha$
neboli
$f = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$.
Maximální úhel náklonu pak je $\alpha = \tan^{-1}f = \tan^{-1}0,6 = 31°$.
Hybnost a impuls síly
motivační video youtube: Gun handling fails – backfire.
Dodávka o hmotnosti 3,5 tuny jede rychlostí 60 km/h. Jakou rychlost by muselo mít osobní auto o hmotnosti 1,5 tuny, aby mělo stejnou hybnost jako dodávka?
Má platit $3,5 \cdot 60 = 1,5 \cdot v$, tedy $v = 60\kmh \cdot 3,5/1,5 = 140\kmh$. Kolikrát menší hmotnost, tolikrát větší musí mít rychlost.
O kolik se změní rychlost bruslaře o hmotnosti 50 kg, když do něj někdo tlačí silou o velikosti 40 N po dobu půl sekundy? Bruslař bez tření klouže po ledě. K výpočtu použijte vztah pro impuls síly.
Změna hybnosti bruslaře $\Delta p = m\Delta v = F \cdot \Delta t = 20\,\mathrm{N \cdot s}$. Tedy $\Delta v = F \cdot \Delta t / m = 20/50 = 0,4\jv$.
Jakou průměrnou silou působí baseballová pálka na míček, pokud profesionálové nadhazují rychlostí 140 km/h, odpálený míček má rychlost 150 km/h, a kontakt pálky a míčku trvá asi 2 ms? Potřebné hodnoty si dohledejte.
Hmotnost baseballového míčku je asi 150 g. Hybnost změnila směr na opačný. Změna rychlosti celkem $290\kmh = 80,56\jv$ . Celková změna hybnosti je tak $\Delta p = m\Delta v = 0,15\jkg \cdot 80,56\jv = 12,1\jp$.
Platí $F = \Delta p / \Delta t = 12,1\jp / 0,002\js = 6042\jN$.
To je strašně moc, jako tíha 600 kg závaží!
Těleso o hmotnosti 5 kg se pohybuje rychlostí 2 m/s a jiné těleso o hmotnosti 3 kg se pohybuje rychlostí 4 m/s. Určete celkovou velikost hybnosti systému v následujících případech:
a) pohybují se stejným směrem v téže přímce
b) pohybují se proti sobě v téže přímce
c) jejich rychlosti jsou vzájemně kolmé
a) $22\jp$; b) $2\jp$; $15,6\jp$.
Kosmonaut uvízl v prázdném prostoru a potřebuje se dostat zpět ke kosmické lodi, která se od něj nezadržitelně vzdaluje rychlostí 0,6 m/s. V zoufalství odhodil kladivo o hmotnosti 5 kg rychlostí 10,5 m/s. Zachrání se? Původní hmotnost kosmonauta s veškerým vybavením(!) byla 90 kg.
Hmotnost kosmonauta bez kladiva bude 85 kg. Kladivo změní hybnost o $\Delta p = 52,5\jp$. Stejnou změnu hybnosti v opačném směru bude mít kosmonaut $\Delta p = 52,5\jp = m\Delta v = 85\jkg \Delta v$. Odtud $\Delta v = 0,618\jv$.
Neboli řešili jsme rovnici $m_1v_1 = m_2v_2$, číselně $5\cdot 10,5 = 85\cdot \Delta v$.
Tedy zachrání se, začne se pohybovat rychlostí 0,018 m/s směrem zpět k lodi.
Ve filmech se často vidí, že padouch při zásahu kulkou odletí dozadu. Je to reálné? Představte si situaci, že padouch stojí na kluzkém ledě a uvízne v něm střela z pistole, která letěla rychlostí 800 m/s a měla hmotnost 3 g. Jakou rychlostí by se rozpohyboval padouch?
Berme hmotnost padoucha třeba 100 kg (je vypasený). Použijeme zákon zachování hybnosti $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v$, kde indexem 1 značíme kulku a indexem 2 padoucha, a $v$ je rychlost padoucha s kulkou v břiše. Rychlost padoucha na začátku je 0, tedy vztah se redukuje na $m_1v_1 = (m_1+m_2)v$. Odtud
$v = v1\frac{m_1}{m_1+m_2} = 800\frac{0,003\jkg}{100,003\jkg} = 0,024\jv$, čili padouch získá rychlost 2,4 cm/s. To není nijak závratná rychlost. Všimněme si, že hmotnost kulky je prakticky zanedbatelná oproti hmotnosti padoucha, tedy pokud bychom psali $v = v_1\cdot m_1/m_2$, tak bychom velkou chybu neudělali.
Jaké množství pohonných hmot spotřebuje kosmická sonda o hmotnosti 3,2 tuny při zažehnutí svého raketového motoru, aby zvýšila svou rychlost o 50 m/s? Spalné plyny z trysek vystupují rychlostí asi 3 km/s. Změnu hmotnosti sondy v důsledku úbytku paliva považujte za zanedbatelnou a na konci tento předpoklad ověřte.
Pro raketu má být $\Delta p = m\Delta v = 3200 \cdot 50 = 160 000\jp$. Toto je i změna hybnosti paliva. To změní rychlost o 3000 m/s. Pro hmotnost paliva má platit $m_p \cdot 3000 m/s = 160 000\jp$, odkud máme $m_p = 53,3\jkg$. Tiše jsme předpokládali, že hmotnost sondy se odvržením paliva nezmění, což je skoro pravda, protože z 3200 kg ubyde jen 50 kg.
Na ledě jsou dvě kostky a pohybují se bez tření. Jakou hmotnost má druhá kostka?
$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v$, rovnou dosadíme známé hodnoty:
$2\cdot6 + m_2\cdot 0 = (2+m_2)\cdot 2$.
Výsledek je zjevně $m_2 = 4\jkg$.
Po kolejích se pohybuje vagon o hmotnosti 5 tun rychlostí 4 m/s směrem doprava a narazí do vagonu o hmotnosti 10 tun jedoucího stejným směrem rychlostí 1 m/s. Po srážce se spojí a pohybují společně.
a) určete jejich rychlost po srážce
b) Jak by se situace změnila, kdyby se těžší vagon pohyboval proti směrem doleva rychlostí 3 m/s?
c) Jakou rychlostí by se musel těžší vagon pohybovat směrem doleva, aby se srážkou a spojením vagony zastavily na místě?
d*) Levý vagon o hmotnosti 5 tun nechť se pohybuje jako v původním zadání, tedy 4 m/s směrem doprava. Jakou hmotnost by musel mít druhý vagon (ten napravo) v případě pohybu směrem doprava rychlostí 1 m/s, aby výsledná rychlost po spojení byla 3,2 m/s?
a) Použijeme $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v$, čili
$v = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1+m_2}$.
Oba vagony jedou stejným směrem a obě rychlosti dosazujeme s kladným znaménkem. Dostaneme $v = (5\cdot4 + 10\cdot1)/15 = 2\jv$.
b) Pokud druhý vagon jede opačným směrem 3 m/s, tak za rychlost dosadíme – 3 m/s a máme $v = (5\cdot4 – 10\cdot3)/15 = -2/3 \jv$
c) Aby zůstaly po srážce na místě, musí mít druhý hybnost stejné velikosti a opačného směru. Druhý vagon je 2x těžší, tedy jeho rychlost musí být poloviční oproti prvnímu, čili 2 m/s směrem doleva.
d) Řešíme rovnici $3,2 = \frac{5\cdot4 + m_2\cdot1}{5+m_2}$. Přenásobíme obě strany jmenovatelem a máme $16 + 3,2m_2 = 20 + m_2$. Řešením je $m_2 = 4/2,2 = 1,81\,\text{tuny}$.
Jedou proti sobě dva vagony. První vagon jede směrem zleva doprava rychlostí 1,6 m/s. Druhý vagon jede proti němu zprava doleva rychlostí 1,2 m/s. Hmotnost druhého vagonu je o 50% větší než hmotnost prvního vagonu. Při srážce se vagony spojí a pohybují se dál společně. Jaká je výsledná rychlost a směr po spojení?
Použijeme $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v$, čili
$v = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1+m_2}$.
Platí $m_2 = 1,5\cdot m_1$. Zároveň rychlost $v_2 = -1,2\jv$ bereme jako zápornou. Výsledná rychlost pak je
$v = \frac{m_1\cdot 1,6 \– 1,5\,m_1\cdot 1,2}{m_1+1,5\,m_1}$
Vykrátíme hmotnost a máme
$v = \frac{1,6 \– 1,5\cdot 1,2}{2,5} = -0,08\jv$
Po spojení pojedou vagony doleva rychlostí 0,08 m/s.
Lionel Messi střílí penaltu rychlostí 126 km/h. Iker Casillas robinsonádou v letu chytá míč do náruče. Je v tu chvíli 1 m nad zemí a půl metru před brankovou čarou. Je šance, že bude s míčem v náručí odnesen až za brankovou čáru?
Hmotnost míče je zhruba $m_1 = 0,4\jkg$, hmotnost brankáře budiž asi $m_2 = 80\jkg$. Rychlost míče je $v_1 = 33,3\jv$. Když brankář chytá míč, tak rychlost brankáře směrem do brány je nulová. Zákon zachování hybnosti tak má tvar
$m_1v_1 = (m_1+m_2)v$.
Vyjádřením $v$ a dosazením máme rychlost brankáře směrem do brány
$v = (0,4 \cdot 33,3)/80,4 = 0,166 \jv$.
Na začátku je brankář ve výšce 1 m nad zemí. Svislý pád z této výšky trvá $t = \sqrt{2h/g} = 0,45\js$.
Za tu dobu se posune k bráně o vzdálenost $d = vt = 0,166 \cdot 0,45 = 0,075\jm = 7,5\,\mathrm{cm}$.
Brankáře to neodnese za čáru.
Hybnosti vektorově: Představte si, že po hokejovém kluzišti bez tření klouže kousek modelíny o hmotnosti 200 g směrem od branky k brance rychlostí 5 m/s. Vektor jeho rychlosti pak vyjádříme jako v1 = (5 m/s; 0 m/s). Druhý kousek modelíny o hmotnosti 300 g klouže naopak kolmo k prvnímu, tedy na šířku kluziště rychlostí 2 m/s. Oba kousky do sebe vrazí a slepí se a dál se pohybují společně.
a) Nakreslete si obrázek a napište ve složkách vektor rychlosti druhého kousku modelíny
b) Napište vektory hybností obou kousků před srážkou a schematicky je zakreslete.
c) Napište součet vektorů těchto hybností před srážkou a zakreslete.
d) Napište vektor hybnosti slepence po srážce
e*) Určete úhel, který svírá rychlost slepence s původní rychlostí v1
a) Rychlost druhého kousku je $v_2 = (0; 2)$ v jednotce m/s.
b) Vektor hybnosti je $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$, tedy $p_1 = 0,2\cdot (5; 0) = (1; 0)$ v základních jednotkách, zatímco $p_2 = 0,3 \cdot (0; 2) = (0; 0,6)$.
c) Součet hybností před srážkou je $p = (1; 0) + (0; 0,6) = (1; 0,6)$.
d) Hybnost slepence po srážce je $p = (m_1 + m_2)v$, čili $p = 0,5\,v$.
Rychlost slepence pak je $v = p/0,5 = (1; 0,6)/0,5 = (2; 1,2)\jv$.
e) Pokud směr k bráně (směr $v_1$) označíme jako směr x, tak vlastně hledáme odchylku vektoru (2; 1,2) od směru x. Pokud si nakreslíme obrázek, tak snadno přijdeme na to, že platí $\alpha = \tan^{-1}(1,2/2) = \tan^{-1}(0,6) = 31°$.