Přehled fyzikálních vztahů a vzorců

Výběr podkapitoly v hlavním Menu > Vztahy
Zatím ve výstavbě!
Všechny hodnoty berte jen jako orientační pro účely výuky na SŠ!
Připomínky a chyby prosím hlaste na email.
$\newcommand{\ve}[1]{\boldsymbol{\mathit{#1}}}$

Mechanika

  1. Rychlost a zrychlení: přímočarý pohyb: $v = \Delta s/\Delta t$, $a = \Delta v/\Delta t$. V případě křivočarého pohybu zavádíme rychlost i zrychlení jako vektor a pak píšeme $\ve{v} = \Delta\ve{r}/\Delta t$, $\ve{a} = \Delta\ve{v}/\Delta t$, kde $\ve{r}$ je polohový vektor objektu.
  2. Rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu: $v = v_0 + at$, kde $v_0$ je počáteční rychlost, $a$ je konstantní zrychlení a $t$ je čas.
  3. Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu: $s = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$, kde $s_0$ je počáteční dráha, $v_0$ je počáteční rychlost, $t$ je čas a $a$ jekonstantní zrychlení.
  4. Newtonův první zákon (zákon setrvačnosti): Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není nuceno vnějšími silami svůj stav změnit.
  5. Newtonův druhý zákon: $\ve{a}=\ve{F}/m$, kde $F$ je síla, $m$ je hmotnost a $a$ je zrychlení.
  6. Newtonův třetí zákon: Působí-li těleso A silou na těleso B, pak těleso B musí působit silou stejné velikosti a opačného směru na těleso A.
  7. Hybnost: $\ve{p} = m\ve{v}$, kde $m$ je hmotnost tělesa a $v$ jeho rychlost.
  8. Impuls síly: $\ve{F}\Delta t = \Delta\ve{p}$, kde $\Delta t$ je krátký časový interval působení síly a $\Delta p$ je změna hybnosti.
  9. Zákon zachování hybnosti izolované soustavy: $\sum \ve{p_i} = \text{konst}$. Izolovaná soustava těles znamená, že na tělesa nepůsobí žádná vnější síla s původem mimo tuto soustavu. Často také vyšetřujeme případ pohybu těles po rovině, kde na tělesa vertikálně působí gravitace, která je však kompenzována podpěrnou silou od podložky. V horizontálním směru vnější síly nepůsobí a hybnost v horizontální rovině se zachovává.
  10. Zákon zachování hybnosti při srážce dvou těles: $m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$, $m_1$ a $m_2$ jsou hmotnosti těles a $u_1$, $u_2$, $v_1$ a $v_2$ jsou jejich počáteční a koncové rychlosti.
  11. Úhlová rychlost při kruhovém pohybu: $\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}$, kde $\Delta\varphi$ je změna úhlu otočení neboli úhlová dráha, a tedy $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$, kde $T$ je perioda otáčení a $f$ frekvence. Souvislost úhlové a obvodové rychlosti: $v = \omega r$.
  12. Dostředivá síla a zrychlení při pohybu po kružnici: $F_d = mv^2/r = m\omega^2r$, kde $m$ je hmotnost, $v$ je rychlost a $r$ je poloměr kruhové dráhy. Odtud dostředivé zrychlení: $a_d = F_d/m = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$.
  13. Mechanická práce: $W = \ve{F}\cdot\ve{s}$, kde $s$ je délka dráhy, po které síla působí. Pokud není síla a posunutí ve stejném směru, nutno počítat $W = Fs\cos(\alpha)$.
  14. Kinetická energie: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$, kde $m$ je hmotnost a $v$ rychlost tělesa.
  15. Potenciální tíhová energie v homogenním poli: $E_p = mgh$, kde $h$ je výška nad referenční hladinou (zemí).
  16. Zákon zachování mechanické energie při pádu: $E = \frac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{konst}$, kde první člen je kinetická energie a druhý člen potenciální tíhová energie.
  17. Tíha: $F = mg$, kde $F$ je tíhová síla, $m$ je hmotnost a $g$ je tíhové zrychlení.
  18. Newtonův gravitační zákon: $\large F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$, kde $F$ je gravitační síla, $G$ je gravitační konstanta, $m_1$ a $m_2$ jsou hmotnosti kulových těles a $r$ je vzdálenost jejich středů.
  19. Gravitační zrychlení: $\large a_g = \frac{GM}{r^2}$, kde $M$ je hmotnost centrálního tělesa a $r$ vzdálenost místa od jeho středu.
  20. Tíhové zrychlení na povrchu těles: $[\text{m/s}^2]$: Země 9,81, Měsíc 1,62, Venuše 8,87, Mars 3,71 (0.38 g), Jupiter 24,79
  21. Hmotnosti těles: Země $5,97\times10^{24} \text{kg}$, Měsíc $7,34\times10^{22} \text{kg}$, Slunce $1,99\times10^{30} \text{kg}$.
  22. Kruhová rychlost při oběhu satelitu: $v_k = \sqrt{GM/r}$, kde $M$ je hmotnost centrálního tělesa a $r$ poloměr trajektorii satelitu. Odvozeno z rovnosti dostředivého a gravitačního zrychlení: $\large \frac{v_k^2}{r} = \frac{GM}{r^2}$.
  23. Třetí Keplerův zákon: $\large T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3$, kde $T$ je oběžná doba tělesa, $M$ hmotnost centrálního tělesa $a$ velikost hlavní poloosy trajektorie satelitu. Umožňuje vypočítat hmotnost centrálního tělesa, když známe parametry oběhu nějakého jeho satelitu.
  24. Třetí Keplerův zákon pro dvě oběžnice stejného centrálního tělesa: $\large {T_1^2 \over a_1^3} = {T_2^2 \over a_2^3}$, kde $T_i$ jsou oběžné doby těles okolo stejného centrálního tělesa a $a_i$ jsou velikosti hlavních poloos jejich trajektorií. V případě kruhové trajektorie $a$ odpovídá poloměru. Čas obvykle vyjadřujeme v rocích a poloosu v AU. Pro Zemi pak je $T^2/a^3 = 1$.
  25. Poloosy a oběžné doby planet sluneční soustavy: Merkur: 0,39 AU (0,24 let), Venuše: 0,72 AU (0,62 let), Země: 1 AU (1 rok), Mars: 1,52 AU (1,88 let), Jupiter: 5,20 AU (11,86 let), Saturn: 9,58 AU (29,46 let), Uran: 19,22 AU (84,01 let), Neptun: 30,05 AU (164,79 let).
  26. Moment síly: $M = Fd\sin\alpha$, kde $d$ je vzdálenost působiště síly od osy otáčení a $\alpha$ je úhel, který svírá síla a spojnice působiště a osy. Pokud síla působí kolmo na spojnici, je její moment maximální a pak je $M = Fd$. Výraz $d\sin\alpha$ se také nazývá rameno síly.
  27. Rovnováha na páce: $F_1r_1 = F_2r_2$, kde $r_i$ jsou ramena sil.
  28. Poloha těžiště: $\large x_T = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ (obdobně pro $y_T$ a $z_T$), kde $m_i$ jsou hmotnosti jednotlivých částí tělesa a $x_i$ souřadnice jejich těžiště. Zápis bez sumy: $x_T = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1+m_2+m_3}$.
  29. Kinetická energie rotačního pohybu: $E_k = \frac{1}{2} J \omega^2$, kde $J$ je moment setrvačnosti a $\omega$ je úhlová rychlost.
  30. Moment setrvačnosti: $J = \sum m_i r_i^2$, kde $m_i$ jsou hmotnosti jednotlivých bodů, ze kterých se těleso skládá, a $r_i$ jsou jejich vzdálenosti od osy otáčení.
  31. Momenty setrvačnosti: kotouč/válec okolo rotační osy symetrie $J = \frac{1}{2}mr^2$, plná koule okolo osy jejím středem $J = \frac{2}{5}mr^2$, tyčka délky $L$ okolo osy kolmé na tyčku procházející jejím středem a $J = \frac{1}{12}mL^2$, procházející jejím koncem $J = \frac{1}{3}mL^2$, .

Mechanika tekutin

  1. Hustota: $\rho = m/V$, kde $m$ je hmotnost tělesa a $V$ jeho objem. Platí $1\,\text{g/cm}^3 = 1 \text{kg/litr} = 1000\,\text{kg/m}^3$.
  2. Hustoty látek $[\text{kg/m}^3]$: Vodík: 0,0899; Helium: 0,1786; Vzduch: 1,25, Oxid uhličitý: 1,977, Benzin: 750, Ethanol: 789, Olej: 900, led: 917, voda 997, PVC: 1385, Písek: 1600, Beton: 2400, Sklo: 2500, Hliník: 2700, Žula: 2700, Diamant: 3500, Železo: 7870, Měď: 8960, Olovo: 11340, Rtuť: 13600, Zlato: 19320,
  3. Tlak: $p = F/S$, kde síla $F$ působí kolmo na plochu obsahu $S$.
  4. Hydraulické zařízení se dvěma písty: $F_1S_1 = p = F_2/S_2$, kde $S_i$ jsou plochy pístů a $F_i$ síly na těchto pístech.
  5. Hydrostatický tlak: $p_h = h\rho g$, kde $h$ je hloubka pod hladinou a $\rho$ hustota kapaliny.
  6. Atmosferický tlak: $p_a = p_0 ({1 \over 2})^{h/h_p}$, kde $p_0$ je tlak u hladiny moře (normální tlak 101,325 kPa), $h$ výška a $h_p$ výška, kde je tlak poloviční ($h_p\approx 5000\,\text{mnm}$). Jedná se o exponenciální pokles. Odvození zjednodušeně předpokládá, že se teplota atmosféry s výškou nemění.
  7. Vztlaková síla na těleso v tekutině: $F_{vz} = V_p \rho g$, kde $V_p$ je objem ponořené části tělesa a $\rho$ hustota tekutiny.
  8. Rovnice kontinuity nestlačitelné kapaliny: $S_1 v_1 = S_2 v_2$, kde $S_i$ jsou plochy průřezu potrubí a $v_i$ jsou odpovídající rychlosti proudění.
  9. Odpor vzduchu (rychlé obtékaní): $F_o = \frac{1}{2}CS\rho v^2$, kde $S$ je plocha průřezu obtékaného tělesa, $\rho$ hustota tekutiny, $v$ rychlost objektu a $C$ odporový koeficient závisející na tvaru tělesa, typicky nabývající hodnot od 0 do 1,5.
  10. Odporové koeficienty C: koule 0,47; krychle 1,07; aerodynamické tvary až 0,04.

Termika a vlastnosti látek

  1. Avogadrova konstanta (počet částic v molu): $N_A \approx 6.022 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1}$
  2. Střední kinetická energie posuvného pohybu jedné molekuly: $E_1 = \frac{1}{2}m_1v_k^2 = \frac{3}{2}k_BT$, kde $m_1$ je hmotnost molekuly, $v_k$ je střední kvadratická rychlost, $k_B \approx 1.38 \times 10^{-23}\,\text{J/K}$ je Boltzmannova konstanta.
  3. Teplo potřebné k ohřátí látky $Q = mc\Delta T$, kde $Q$ je přenesené teplo, $m$ je hmotnost látky, $c$ je měrná tepelná kapacita a $\Delta T$ je změna teploty.
  4. Měrná tepelná kapacita $[\text{kJ/(kg}\cdot\text{K})]$: Železo: 0,450; Beton: 0,840; Hliník: 0,900; Vzduch (konstantní tlak): 1,005; Olej: 2,000; Led: 2,090; Voda: 4,180
  5. Kalorimetrická rovnice při tepelné výměně mezi dvěma tělesy: $Q_{out} = Q_{in}$, neboli $m_1c_1(T_1 – T) = m_2c_2(T-T_2)$, kde $T_i$ jsou počáteční teploty a $T$ koncová teplota.
  6. První termodynamický zákon (Zákon zachování energie): $\Delta U = Q – W$, kde $\Delta U$ je změna vnitřní energie, $Q$ je přenesené teplo a $W$ je vykonaná práce.
  7. Stavová rovnice ideálního plynu: $pV = nRT$, kde $p$ je tlak, $V$ je objem, $n$ je počet molů plynu, $R \approx 8.31\,\text{J/(mol}\cdot\text{K})$ je univerzální plynová konstanta a $T$ je termodynamická teplota.
  8. Dva stavy téhož množství plynu: $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$, kde 1 značí počáteční stav a 2 koncový stav.
  9. Izoděje: izotermický $pV = \text{konst}$ ($p \propto 1/V$), izobarický $V \propto T$, izochorický $p \propto T$.
  10. Stavová rovnice pro adiabatický proces (Poissonova rovnice): $pV^\gamma = \text{konst}$, kde $p$ je tlak plynu, $V$ je objem plynu a $\gamma$ je adiabatický index, který je pro dvouatomový plyn roven $\gamma = 7/5 = 1,4$.
  11. Účinnost tepelného stroje: $\eta = W/Q_{in} = {Q_{in}-Q_{out} \over Q_{in}}$, kde $W$ je práce vykonaná strojem, $Q_{in}$ teplo odebrané z ohřívače a $Q_{out}$ teplo odevzdané chladiči.
  12. Účinnost Carnotova stroje: $\eta = 1 – \frac{T_c}{T_h}$, kde $\eta$ je účinnost Carnotova stroje, $T_c$ je teplota chladného rezervoáru a $T_h$ je teplota teplého rezervoáru. Určuje maximální účinnost libovolného tepelného stroje.
  13. Práce vykonaná při izobarickém rozpínaní plynu: $W = p\Delta V$.
  14. Tepelné ztráty stěnou: $\large Q = \frac{\lambda S\Delta T t}{d}$, kde $\lambda$ součinitel tepelné vodivosti materiálu, $S$ plocha stěny, $\Delta T$ rozdíl teplot na jedné a druhé straně, $d$ tloušťka stěny a $t$ čas/doba.
  15. Stefan-Boltzmannův zákon pro zářivý výkon černého tělesa: $P = \sigma S T^4$, kde $P$ je zářivý výkon, $\sigma \approx 5,67 \times 10^{-8} \text{W/m}^2\cdot\text{K}^4$ je Stefanova-Boltzmannova konstanta, $S$ je povrch černého tělesa a $T$ je jeho teplota v kelvinech.
  16. Teplotní roztažnost: délková $\Delta l = \alpha l_0 \Delta T$, objemová $\Delta V = \beta V_0 \Delta T$, kde $\alpha, \beta$ je součinitel délkové resp. objemové teplotní roztažnosti ($\beta\approx3\alpha$), $l_0, V_0$ jsou původní délka resp. objem.
  17. Teplotní objemová roztažnost kapalin $\beta$: voda $2,1 \times 10^{-4}\text{K}^{-1}$ (při 20 °C); Benzín: asi $9 \times 10^{-4}\text{K}^{-1}$ (při 20 °C)
  18. Mechanické normálové napětí v pevné látce: $\sigma = F/S$, kde $F$ je síla působící kolmo na zkoumanou plochu a $S$ velikost plochy. Typicky pro výpočet napětí např. v drátu zatíženém závažím. Jednotka Pascal. Materiály mají mezní napětí, při jehož překročení těleso praská – nazýváme mez pevnosti v tahu $\sigma_p$.
  19. Mez pevnosti v tahu: Beton: 2,5 MPa; Dřevo: 40-80 MPa; Dural: 500 MPa; Hliník: 110-570 MPa; Kevlar: 2,8 GPa; Ocel: 250-590 MPa
  20. Relativní prodloužení: $\varepsilon = \Delta l/L_0$, tedy podíl změny délky vůči původní délce.
  21. Hookův zákon pro relativní prodloužení: $\varepsilon = \sigma/E$, kde $\sigma$ je napětí a $E$ modul pružnosti v tahu daného materiálu (Young modulus). Odtud také $\Delta L = L_0\frac{F}{ES}$. Pojem “modul pružnosti” je poněkud zavádějící, protože platí, že čím větší $E$, tím obtížnější je těleso prodloužit.
  22. Modul pružnosti v tahu: Beton: 20 GPa; Dřevo: 10 GPa; Hliník: 69 GPa; Ocel: 210 GPa
  23. Teplo potřebné pro skupenskou změnu: tání $Q = ml_t$, kde $l_t$ je měrné skupenské teplo tání, varu $Q = ml_v$ kde $l_v$ je měrné skupenské teplo varu.
  24. Měrná skupenská tepla: tání ledu 334 kJ/kg, varu vody 2257 kJ/kg.
  25. Teplota tání: Ethanol: -114;1 °C; Rtuť: -38,83 °C; Voda: 0 °C; Pájka (olovnatá): 183-190 °C; Cín: 231,93 °C; Olovo: 327,46 °C; Hliník: 660,32 °C; Zlato: 1064,18 °C; Železo: 1538 °C, karbid křemíku: asi 2700 °C, Wolfram: 3422 °C
  26. Teplota varu (za normálního tlaku): Helium: -268,93 °C (4,22 K); Dusík: -196,0 °C (77,35 K); Aceton: 56,05 °C; Methanol: 64,7 °C; Ethanol: 78,37 °C; Voda: 100,0 °C

Kmitání a vlnění

  1. Perioda, frekvence a úhlová frekvence: $T = 1/f = 2\pi/\omega$.
  2. Harmonické kmitání: $y(t) = y_m \sin(\omega t + \varphi_0)$ nebo $y(t) = A \sin(2\pi t/T + \varphi_0)$, kde $y(t)$ je okamžitá výchylka kmitání, $y_m$ resp. $A$ jsou maximální výchylka neboli amplituda, $\omega$ úhlová frekvence, $T$ perioda a $\varphi_0$ počáteční fáze.
  3. Rychlost a zrychlení při harmonickém kmitání: $v(t) = \omega y_m \cos(\omega t + \varphi_0)$ a $a(t) = -\omega^2 y_m \sin(\omega t + \varphi_0)$, tedy $a(t) = -\omega^2 y(t)$.
  4. Maximální hodnotu rychlosti a zrychlení při kmitání: $v_m = \omega y_m$ a $a_m = \omega^2 y_m$. Srovnejte se vztahy pro pohyb po kružnici: $v = \omega r$ a $a_d = \omega^2 t$.
  5. Síla od pružiny (Hookův zákon): $F = -kx$, kde $k$ je tuhost pružiny a $x$ prodloužení pružiny. Znaménko minus vyjadřuje skutečnost, že směr síly je opačný než směr výchylky.
  6. Frekvence a perioda kmitání závaží na pružině: $\omega = \sqrt{k/m}$, kde $k$ je tuhost pružiny a $m$ je hmotnost závaží. Jelikož $T = 2\pi/\omega$, tak perioda $T = 2\pi\sqrt{\frac{k}{m}}$. Vztah pro $\omega$ dostaneme z rovnosti $a_m = F/m = ky_m/m$ a zároveň $a_m = y_m \omega^2$, tedy $\frac{k}{m}y_m = \omega^2 y_m$.
  7. Potenciální energie pružiny: $E_p = \frac{1}{2}ky^2$, kde $k$ je tuhost a $y$ výchylka z klidové polohy.
  8. Frekvence a perioda matematického kyvadla: $\omega = \sqrt{g/L}$, kde $L$ je délka kyvadla. Jelikož $T = 2\pi/\omega$, tak perioda $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$.
  9. Vlnová délka: $\lambda = vT$, kde $v$ je rychlost šíření vlnění a $T$ je perioda kmitání zdroje vlnění. Zřejmě také $\lambda = v/f$.
  10. Rovnice postupné vlny: $y(x,t) = A\sin[\omega(t – x/v)]$ či také $y(x,t)= A\sin[2\pi(\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda})]$, kde $y(x,t)$ je výchylka v místě $x$ a čase $t$, $v$ rychlost šíření vlny, $\lambda$ její vlnová délka a $T$ je perioda kmitání zdroje. $A$ značí amplitudu. Výraz $x/v$ značí dobu putování vlny od zdroje k pozorovateli.
  11. Vzdálenost kmiten stojaté vlny je rovna polovině vlnové délky.
  12. Podmínky interference: konstruktivní $\Delta L = k\lambda$, destruktivní $\Delta L = (k + \frac{1}{2})\lambda$, kde $\Delta L$ je dráhový rozdíl místa pozorování od dvou koherentních zdrojů vlnění (kmitají se stejnou frekvencí ve fázi).
  13. Módy stojatého vlnění na struně: Přípustné vlnové délky $\lambda_k = 2L/k$, kde $L$ je délka struny a $k$ je přirozené číslo 1,2,3… Odtud frekvence $f_k = v/\lambda_k = kv/2L = kf_1$ jsou násobky základní frekvence.
  14. Rychlost zvuku za normálních podmínek: Vzduch: 343 m/s, Helium: Přibližně 972 m/s, Voda: asi 1481 m/s, Beton: asi 3400 m/s, Železo: 5130 m/s
  15. Dopplerův jev pro zvuk: $\large f’ = f\frac{(v \pm v_p)}{v \pm v_s}$ (Pozorovaná frekvence $f’$ zvuku je dána zdrojovou frekvencí $f$, rychlostí zvuku $v$ v médiu, rychlostí pozorovatele $v_p$ vůči médiu (plus pokud zdroj jde k pozorovateli) a rychlostí zdroje zvuku vůči médiu $v_s$ (plus pokud zdroj jde od pozorovatele).
  16. Hladina intenzity zvuku v dB: $H_{dB} = 10\log_{10}({\frac{I}{I_0}})$, kde $I$ je intenzita zvuku v jednotce W/m$^2$ a $I_0$ je intenzita prahu slyšení ($I_0 = 10^{-12}\,\text{W/m}^2$). Např. při zesílení zvuku 100násobně je $\log_{10}(I/I_0) = 2$ , tedy o dva řády neboli o dva Belly čili o 20dB, protože decibell je desetina Bellu. Zdvojnásobení intenzity odpovídá nárůstu asi o 3 dB.

Elektřina

  1. Elementární náboj: $e \approx 1.602 \times 10^{-19}\,\text{C}$ odpovídá náboji elektronu a protonu.
  2. Coulombův zákon: $\large F_e = \frac{k}{\varepsilon_r}\frac{Q_1Q_2}{r^2}$, kde $Q_1$ a $Q_2$ jsou náboje bodových částic nebo rovnoměrně nabitých koulí, $r$ je vzdálenost jejich středů, $\varepsilon_r$ relativní permitivita prostředí a $k = 1/4\pi\varepsilon_0 \approx 8.99\times10^9 \text{N m}^2\text{C}^{-2}$, přičemž permitivita vakua $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\text{C}^2/\text{N}\cdot\text{m}^2$.
  3. Relativní permitivita materiálu: vakuum 1; vzduch 1,00054, PVC $\approx 4$; Al$_2$O$_3$ 8-10; voda 81.
  4. Intenzita elektrického pole: $E = F_e/q$, kde $F_e$ je elektrická síla a $q$ je velikost testovacího náboje.
  5. Elektrické napětí: $U_{AB} = W_{AB}/q$, tedy napětí mezi dvěma body je rovno práci, kterou elektrické síly vykonají při přenesení náboje, vydělenou velikostí přenášeného náboje. Významný je přeuspořádaný vztah $W = qU$, práce vykonaná elektrickými silami při přenesení náboje přes napěťový rozdíl.
  6. Elektrický potenciál v okolí bodového náboje Q: $\varphi(r) = kQ/r$, kde $r$ je vzdálenost od bodového náboje. Všimněte si první mocniny.
  7. Kapacita kondenzátoru: $C = Q/U$, kde $Q$ je náboj desky kondenzátoru a $U$ je napětí mezi deskami.
  8. Kapacita deskového kondenzátoru: $C = \varepsilon S/d$, kde dielektrikum mezi deskami má permitivitu $\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$, $S$ je plocha desky a $d$ vzdálenost desek.
  9. Spojování kondenzátorů: paralelně $C = C_1+C_2$, sériově $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$. Při sériovém spojení se je tedy výsledná kapacita menší než dílčí kapacity jednotlivých kondenzátorů.
  10. Energie kondenzátoru: $E = QU/2 = \frac{1}{2}CU^2$. Člen U/2 vlastně vyjadřuje průměrné napětí na kondenzátoru během jeho postupného vybíjení.
  11. Elektrický proud: $I = \Delta Q/\Delta t$, tedy prošlý náboj průřezem vodiče děleno časem.
  12. Ohmův zákon: $I = U/R$, tedy proud vodičem je přímo úměrný napětí mezi jeho konci a nepřímo úměrný jeho odporu. Odtud plyne vztah např. vztah pro úbytek napětí na rezistoru: $U = RI$. Platí pro kovy, pokud se průchodem proudu příliš nezahřívají.
  13. Odpor vodiče: $R = \rho l/S$, kde $\rho$ je měrný elektrický odpor materiálu, $l$ délka vodiče a $S$ jeho plošný průřez.
  14. Měrný elektrický odpor: $[\text{n}\Omega\cdot\text{m}]$: Stříbro: 15, Měď: 15, Zlato: 21, Hliník: 24, Železo: 86, Cín: 110, Rtuť: 940, grafit 13800
  15. Spojování rezistorů: sériově $R_s = R_1+R_2$, paralelně $1/R_p = 1/R_1 + 1/R_2$.
  16. Svorkové napětí zdroje: $U_s = U_e – IR_i$, kde $U_e$ je napětí nezatíženého zdroje, $I$ proud dodávaný zdrojem a $R_i$ jeho vnitřní odpor. Vztah říká, že čím větší proud bude odebírán, tím svorkové napětí klesá. U měkkých zdrojů klesá rychle.
  17. Energie dodaná zdrojem do obvodu: $E = QU$. Odpovídá také práci, kterou vykonají elektrické síly při přenesení náboje $Q$ přes napěťový rozdíl $U$, tedy lze psát i $W = QU$.
  18. Výkon elektrického proudu, příkon spotřebiče: $P = UI$, kde $U$ je napětí mezi konci zkoumaného spotřebiče a $I$ protékající proud. Odvození: $P = W/t = QU/t = UI$.
  19. Výkon elektrického proudu, příkon spotřebiče: $P = RI^2 = U^2/R$, kde $U$ je napětí mezi konci zkoumaného spotřebiče, $I$ protékající proud a $R$ odpor spotřebiče. Odpovení spojením vztahů $P = UI$ a Ohmova zákona $I = U/R$.
  20. Kilowatthodina (kWh): je jednotkou energie, platí 1 kW$\cdot$h = 3,6 MJ.
  21. Hmotnost látky vyloučené při elektrolýze: $\large m = \frac{M_m I t}{\nu e N_A}$, kde $M_m$ je molární hmotnost látky, $I$ proud elektrodou, $\nu$ mocnost vylučovaného iontu, $e$ elementární náboj, $N_A$ Avogadrova konstanta.

Magnetismus

  1. Magnetická indukce v okolí příměho vodiče: $B = {\mu I \over 2\pi d}$, kde $\mu$ je permeabilita prostředí, $I$ proud vodičem a $d$ vzdálenost bodu o vodiče. Pravidlo pravé ruky: Pokud palec ukazuje směr el. proudu přímým vodičem, tak zahnuté prsty ukazují směr indukčních čar.
  2. Permeabilita vakua ($\mu_0$): $4\pi \times 10^{-7} , \text{N/A}^2$. Permeabilita většiny látek je velice blízká permeabilitě vakua, až na feromagnetické materiály (např. Fe), kde je permeabilita větší řádově stokrát či tisíckrát (znásobení vyjadřuje relativní permeabilita).
  3. Magnetická indukce uvnitř dlouhého solenoidu (cívky): $B = \mu IN/l$, kde $N$ je počet závitů a $l$ délka solenoidu, výraz $N/l$ vyjadřuje hustotu závitů. Pravidlo pravé ruky: Pokud zahnuté prsty ukazují směr proudu cívkou, palec ukazuje na její severní pól.
  4. Magnetická síla na vodič v mag. poli: $F_m = IlB\sin\alpha$, kde $I$ je proud vodičem, $l$ jeho délka, $B$ velikost mag. indukce a $\alpha$ úhel, který svírá směr $B$ a $I$. Síla je maximální, pokud jsou B a I na sebe kolmé, a nulová, když jsou rovnoběžné. Pravidlo levé ruky: Pokud indukční čáry bodají do dlaně a prsty ukazují směr el. proudu (směr pohybu kladného náboje), pak palec ukazuje směr síly.
  5. Lorentzova síla: $\ve{F_m} = q(\ve{v} \times \ve{B})$, síla na částici náboje $q$ pohybující se rychlostí $\ve{v}$ v magnetickém poli $\ve{B}$. Křížek značí vektorový součin. Pokud je $\ve{v}$ a $\ve{B}$ kolmá, je síla rovna $F_m = qvB$, pokud jsou rovnoběžné, je síla nulová. Lze také vyjádřit jako $F_m = qvB\sin\alpha$, kde $\alpha$ je úhel mezi vektory $v$ a $B$.
  6. Poloměr trajektorie částice létající v mag. poli v rovině kolmé na $B$ vychází z rovnosti: $mv^2/r = qvB$, kde první člen vyjadřuje dostředivou sílu a druhý Lorentzovu magnetickou sílu.
  7. Magnetický tok plochou: $\Phi = BS\cos\alpha$, kde $S$ je plocha smyčky a $\alpha$ úhel, který svírá kolmie na plochu s mag. indukcí.
  8. Faradayův zákon elektromagnetické indukce: $U_i = \Delta\Phi/\Delta t$, tedy velikost napětí indukovaného mezi konci cívky je dáno rychlostí změny indukčního toku plochou cívky. Ke změně toku dochází např. otáčením magnetu vedle cívky. Toto je princip výroby elektřiny v tepelných, jaderných a vodních elektrárnách.
  9. Magnetický tok cívkou: $\Phi = LI$. Jedná se o magnetický tok v cívce vyvolaný průchodem proudu touto cívkou. $L$ je Indukčnost cívky, která závisí na rozměrech cívky, počtu závitů a materiálu jádra cívky. Pro dlouhý solenoid je $L = \mu S N^2/l$.
  10. Elektromotorické napětí indukované mezi konci cívky při změně proudu cívkou: $U_i = L{\Delta I \over \Delta t}$, tedy indukované napětí je úměrné velikosti časové změny proudu

Střídavý proud

  1. Časový průběh střídavého napětí a proudu: $u(t) = U_m\sin \omega t$, potažmo $i(t) = I_m\sin(\omega t – \varphi)$, kde $U_m$ je maximální napětí, $I_m$ maximální proud, $\omega = 2\pi f$ úhlová frekvence střídavého signálu a $\varphi$ rozdíl fází mezi napětím a proudem.
  2. Efektivní napětí a proud: $U_{ef} = U_m/\sqrt{2}$ a $I_{ef} = I_m/\sqrt{2}$. Efektivní hodnota střídavého napětí je rovna hodnotě stejnosměrného napětí, které by při přiložení na odporovou zátěž dávalo stejný průměrný výkon.
  3. V české rozvodné síti je $f = 50\,\text{Hz}$, tedy $\omega = 100\,\pi\text{s}^{-1}$. V zásuvce je $U_{ef} = 230\,\text{V}$ a $U_m = 325\,\text{V}$.
  4. Impedance: $Z = U_m/I_m = U_{ef}/I_{ef}$. Je vlastností prvku nebo části obvodu. Je to obdoba odporu v obvodech střídavého proudu. Jednotkou impedance je také Ohm. Zohledňuje skutečnost, že napětí a proud mohou být fázově posunutá a že chování prvků obvodu závisí na frekvenci střídavého napětí.
  5. Impedance ideální cívky (neboli induktance): $X_L = \omega L$, kde $L$ je indukčnost cívky. Ideální cívka má zanedbatelný ohmický odpor. Cívka se brání změnám proudu, proto má při vyšší frekvenci vyšší impedanci. Proud cívkou se zpožďuje o $\pi/2$ za napětím měřeným mezi jejími konci.
  6. Impedance ideálního kondenzátoru (neboli kapacitance): $X_C = \frac{1}{\omega C}$, kde $C$ je kapacita kondenzátoru. Kondenzátor neumožňuje průchod stejnosměrného proudu, proto je impedance tím větší, čím nižší je frekvence (stejnosměrný proud = nulová frekvence). Proud kondenzátorem předchází napětí o $\pi/2$ (než je na kondenzátoru napětí, musí se nejdřív proudem nabít).
  7. Impedance sériového spojení R,L,C: $Z = U_m/I_m = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}$. Vztah vychází z toho, že při sériovém spojení se napětí na prvcích sčítají, zatímco proud všemi prvky je shodný. Napětí jsou však fázově posunutá a je třeba je sčítat jako vektory (fázory). Fázový posun napětí na cívce je proti napětí na kondenzátoru posunuté o $\pi$, tedy protifáze, odkud plyne člen $(X_L – X_C)$.
  8. Fázový posun napětí a proudu v sériovém spojení R,L,C: $\tan \varphi = \frac{X_L-X_C}{R}$.
  9. Transformační poměr: $k = N_2/N_1 = U_2/U_1 = I_1/I_2$, kde 1,2 označuje primární resp. sekundární vinutí transformátoru a $N_i$ je počet závitů. Na vinutím s větším počtem závitů naměříme větší napětí, avšak protéká jím menší proud.

Optika

  1. Rychlost světla ve vakuu: Obvykle používáme $c\approx 3\times 10^8\,\text{m/s}$, přesně pak $c = $299792458\,\text{m/s}$.
  2. Rychlost světla v prostředí: $v = c/n$, kde $c$ je rychlost ve vakuu a $n$ index lomu prostředí.
  3. Index lomu: Vzduch: 1,0005; Ethanol: 1,36; Voda: 1,33; CaF$_2$: 1,43; Olej: 1,45 – 1,55; Sklo: kolem 1,5; Polykarbonát: asi 1,59; Diamant: Přibližně 2,42
  4. Změna vlnové délky v prostředí: $\lambda = \lambda_0/n$. Frekvence se při přechodu do jiného prostředí nemění.
  5. Zákon lomu na rozhraní (Snelliův): $n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2$, kde $n_i$ jsou indexy lomu dvou prostředí na rozhraní, $\alpha_1$ je úhel dopadu vůči kolmici na rozhraní a $\alpha_2$ je úhel lomu vůči kolmici na rozhraní.
  6. Mezní úhel při dopadu paprsku na rozhraní s opticky řidším prostředím: $n_1\sin\alpha_m = n_2\sin90^\circ$, tedy $\alpha_m = \sin^{-1}\frac{n_2}{n_1}$. Při větším úhlu dopadu se paprsek totálně odrazí zpět do opticky hustšího prostředí.
  7. Ohnisková délka zrcadla: $f = R/2$, kde $R$ je poloměr křivosti zrcadla. Ohnisková délka je kladná pro duté zrcadlo a záporná pro vypuklé zrcadlo.
  8. Zobrazovací rovnice čočky nebo zrcadla: $\large \frac{1}{a} + \frac{1}{a’} = \frac{1}{f}$, kde $a$ je předmětová vzdálenost od čočky, $a’$ je vzdálenost obrazu a $f$ je ohnisková délka čočky/zrcadla.
  9. Znaménková konvence: Předmětová vzdálenost je vždy kladná. Obrazová vzdálenost je kladná, když je obraz skutečný a záporná, když je zdánlivý. Ohnisková délka je kladná pro spojku nebo duté zrcadlo a záporná pro rozptylku nebo vypuklé zrcadlo
  10. Příčné zvětšení: $Z = y’/y = -a’/a$, kde $y$ je výška předmětu. Tento vztah vyplývá čistě z podobnosti trojúhelníků při zakreslení význačného paprsku procházejícího středem čočky beze změny směru.
  11. Úhlové zvětšení Keplerova dalekohledu: $\gamma = f_1/f_2$, kde $f_1$ je ohnisková délka spojky objektivu a $f_2$ ohnisková délka spojky okuláru. Objektiv zobrazí hvězdu do ohniskové roviny okuláru.
  12. Antireflexní vrstva – destruktivní interference: $2dn = (k+\frac{1}{2})\lambda$, kde $d$ je tloušťka antireflexní vrstvy, $n$ její index lomu, $\lambda$ vlnová délka dopadajícho světla ve vzduchu a $k=0,1,2\dots$ je řád interference. Nutný předpoklad je, že antireflexní vrstva, např. brýlí, má index lomu větší než vzduch a menší než sklo brýlí.
  13. Difrakční mřížka – kolmý dopad: $b\sin\alpha = k\lambda$, kde $k=0,1,2\dots$ je řád difrakce, $\lambda$ vlnová délka světla dopadajícího kolmo na mřížku, $b$ vzájemná vzdálenost vrypů mřížky a $\alpha$ úhel difraktovaného svazku.
  14. Vlnové délky barev: fialová 400-430 nm; modrá 430-510 nm; zelená 510-565 nm; žlutá 565-590 nm; oranžová 590-625 nm; červená 625-800 nm.

Teorie relativity

  1. Základní postuláty (zkráceně): 1) Fyzikální zákony jsou stejné ve všech inerciálních vztažných soustavách a žádná z těchto soustav není preferovaná, 2) Rychlost světla ve vakuu je ve všech interciálních vztažných soustavách stejná.
  2. Lorentzův gamma faktor: $\large \gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 – v^2/c^2}}$, kde $v$ je rychlost objektu a $c$ je rychlost světla ve vakuu. Lorentzův gamma faktor vystupuje v řadě dalších relativistických vztahů. Všimněme si, že $\gamma \geq 1$ a roste s rychlostí objektu.
  3. Dilatace času: $\Delta t = \gamma(v) \Delta t_0$, kde $\Delta t_0$ je čas mezi dvěma soumístnými událostmi měřený hodinami v soustavě S, zatímco $\Delta t$ je časový interval mezi událostmi měřený pozorovatelem, který se vůči S pohybuje rychlostí $v$.
  4. Kontrakce délek: $L = L_0/\gamma(v)$, kde $L_0$ je klidová délka objektu a $L$ délka objektu měřená pozorovatelem, který se vůči objektu pohybuje rychlostí $v$.
  5. Relativistická hybnost: $p = \gamma m_0 v$, kde $m_0$ je klidová hmotnost a $v$ je vzájemná rychlost objektu a pozorovatele. Často se také zavádí relativistická hmotnost $m = \gamma m_0$. Rychlé objekty se tedy jeví mít větší hmotnost, čímž je obtížnější je dále urychlit.
  6. Relativistický vztah celková energie-hybnost: $E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2$, kde $m_0$ je klidová hmotnost objektu. Foton má nulovou klidovou hmotnost a vztah se pak redukuje na významný vztah $E = pc$. Kinetická energie objektu je $E_k = E – m_0c^2$. Pro malé rychlosti $E_k \rightarrow \frac{1}{2}m_0v^2$.
  7. Klidová energie (ekvivalence hmota-energie): $E_0 = m_0c^2$, kde $m_0$ je klidová hmotnost. Objekt bez kinetické i potenciální energie obsahuje velké množství energie vyplývající z jeho klidové hmotnosti. Tuto energii je možné kompletně uvolnit jen při procesu anihilace hmoty s antihmotou, např. srážka elektron-pozitron za vzniku dvou vysokoenergetických fotonů.

Kvantová fyzika

  1. Hmotnosti částic: elektronu $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}\,\text{kg}$, protonu $m_p \approx 1.6726 \times 10^{-27}\,\text{kg}$, neutronu ($m_n$): $1.6749\,\times 10^{-27}\,\text{kg}$, atomová hmotnostní jednotka $m_u \approx 1,6605 \times 10^{-27}\,\text{kg}$.
  2. elektronvolt: $1\text{eV} = 1,609\times10^{-19}\text{J}$ je jednotkou energie používanou v mikrosvětě, odpovídá energii, kterou získá elektron, když je urychlen přes napětí 1 V.
  3. Energie fotonu: $E = hf = hc/\lambda$, kde $f$ je frekvence fotonu a $\lambda$ jeho vlnová délka, Planckova konstanta $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{J}\cdot\text{s}$. Ze vztahu je možné získat užitečný přepočet $1 \text{eV} \leftrightarrow 1239,84 \text{nm}$ (pozor ale, jsou si nepřímo úměrné).
  4. Hybnost fotonu: $p = E/c = h/\lambda$. Důkaz o hybnosti fotonu přinesl Comptonův jev – pružný rozptyl fotonu na volném elektronu.
  5. De Broglieho vlnová délka částice: $\lambda = h/p = h/mv$, kde $p$ je hybnost částice. Vztah tak přisuzuje vlnovou délku i libovolnému hmotnému objektu. Vztah je zobecněním vztahu pro hybnost fotonu.
  6. Fotoelektrický jev: $hf = W_v + \frac{1}{2}m_ev^2$, kde $f$ je frekvence uvolněného fotonu, $W_v$ výstupní práce materiálu a $\frac{1}{2}m_ev^2$ kinetická energie uvolněného elektronu.
  7. Přeskok elektronu mezi hladinami v atomu/molekule za emise fotonu: $hf_{mn} = E_m – E_n$, kde $f_{mn}$ je frekvence fotonu odpovídající energii uvolněné při změně energetické hladiny elektronu.
  8. Energetické hladiny v atomu vodíku: $E_k = -13,6\,\text{eV} \cdot \large (\frac{1}{m^2} – \frac{1}{n^2})$, kde $m$, $n$ jsou pořadí zúčastněných hladin (hlavní kvantová čísla hladin).

Jaderná fyzika

  1. Aktivita vzorku (frekvence rozpadů): $A(t) = \lambda N(t)$ vyjadřuje počet rozpadů za jednotku času, kde $\lambda$ je přeměnová konstanta a $N(t)$ počet dosud nepřeměněných jader.
  2. Rozpadový zákon: $N(t) = N_0\exp(-\lambda t)$ nebo $N(t) = N_0(\frac{1}{2})^{t/T}$ či $N(t) = N_0 2^{-t/T}$, kde $N(t)$ je zbývající počet nepřeměněných jader, $N_0$ jejich počáteční počet, $T$ je poločas rozpadu a $\lambda = \ln2/T$ je rozpadová konstanta. Rozpadová konstanta má rozměr “za sekundu” s$^{-1}$.
  3. Poločasy přeměny: $^{238}$U: 4,47 miliardy let; $^{14}$C: 5730 let; $^{137}$Cs: 30 let; $^{131}$I 8,1 dne; $^{222}$Rn 3,8 dne; Technecium-99m 6 hodin;

Astronomie

  1. Vzdálenosti: 1AU = $150\times10^6$ m, světelný rok 1 ly = $9,46\times10^{15}$ m; parsec 1pc = $3,08\times10^{16}$ m = 3,26 ly. Vzdálenost nejbližší hvězdy Proxima Centauri je 4,24 ly.